Stolz 定理

数列型 Stolz 定理

1. 型

设有两个实数列 和 ，满足以下条件：

1. 分母严格单调： 是严格单调递增的（即对于所有足够大的 ，有 ）。
2. 分母发散至无穷： 。

若它们的差分之比的极限存在：

(其中 可以是实数，也可以是 或 )

则原数列之比的极限也存在，且与之相等：

2. 型

设有两个实数列 和 ，满足以下条件：

1. 同时趋于零： 且 。

2. 分母严格单调： 严格单调递减（即 ）。

若它们的差分之比的极限存在：

则原数列之比的极限也存在，且与之相等：

连续型 ( 型)

连续型 Stolz 定理通常也被称为有限增量形式的洛必达法则。它是处理 型极限时，当标准洛必达法则因为导数极限不存在（如遭遇 等周期震荡函数）而失效时的强力替代工具。

设 定义在区间 上，且满足以下三个条件：

1. ，其中 为常数。
2. 在 内闭有界（即 ，在区间 上有界）。
3. 。

若存在极限：

则原极限也存在，且与之相等：