中值定理

微分中值定理

罗尔中值定理(Rolle’s Theorem)

若函数 满足：

1. 上连续
2. 内可导

则至少存在一点 ，使得 .

拉格朗日中值定理 (Lagrange’s Mean Value Theorem)

若函数 满足：

1. 连续
2. 可导

则至少存在一点 ，使得

柯西中值定理 (Cauchy’s Mean Value Theorem)

若函数 和 满足：

1. 连续
2. 可导
3. 对任意 ，

则至少存在一点 ，使得

积分中值定理

积分第一中值定理

若函数 在 上连续，则必存在 ，使得：

推广形式（加权积分中值定理）

有时我们会遇到两个函数相乘的情况。若 连续，且 在区间内不变号，则：

积分第二中值定理

若 在 上可积，且 是单调函数，则存在 ，使得：

特殊形式

如果 不仅单调，还满足特定的正负性，公式可以进一步简化：

1. 若 且单调递减：

2. 若 且单调递增：

二重积分的中值定理

设函数 在闭区域 上连续， 是 的面积，则在 上至少存在一点 ，使得