二阶常系数非齐次线性微分方程

核心方程

结构： 通解 （齐次通解 + 非齐次特解）

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第一步：求齐次通解

求解特征方程 ：

1. 两不等实根 ：
2. 两相等实根 ：
3. 一对共轭复根 ：

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第二步：设非齐次特解

情况 1：

设

• ： 与 次数相同的待定多项式。
• 的取值： 若 不是特征根，；若是单根，；若是重根，。

情况 2：

设

• 次数 ： 取 和 中的较大者，。
• 的取值： 若 不是特征根，；若是特征根，。

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第三步：确定待定系数

1. 对设出的 进行一阶与二阶求导。
2. 将 代入原方程 。
3. 利用对应系数相等原则，解方程组求出 或 中的所有待定常数。

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第四步：合成全解