反常积分

第一类反常积分

第一类反常积分是无穷积分，指积分的上限或下限中含有无穷 的积分。

定义：

设函数 在 上连续且可积。定义无穷积分：

判断发散收敛

比较判别法

设 在 上连续，且 ,则

• 当 收敛时， 收敛。
• 当 发散时， 发散。

比较判别法的极限形式、

设 在 上非负连续，且 (有限或无穷)，则

• 当 时， 与 同敛散。
• 当 时，若 收敛，则 也收敛。
• 当 时，若 发散，则 也发散。

常用结论

第二类反常积分

指积分区间的上限或下限是被积函数的不连续点(也叫瑕点)，也称为瑕积分。

定义：

设函数 在 上连续且可积，但在点 不连续。定义反常积分：

判断发散收敛

比较判别法

设 在 上连续，且 ， 为 和 的瑕点，则

• 当 收敛时， 收敛。
• 当 发散时， 发散。

比较判别法的极限形式、

设 在 上非负连续，且 (有限或无穷)，则

• 当 时， 与 同敛散。
• 当 时，若 收敛，则 也收敛。
• 当 时，若 发散，则 也发散。

常用结论