多元函数微分学的几何应用

一、一元向量值函数及其导数

1. 空间曲线  的参数方程

空间曲线可以通过参数  来表示：

2. 向量形式

将坐标分量写成向量形式，设  为单位坐标向量：

• 位移向量：
• 向量值函数：
• 向量方程： 

3. 极限与导数

• 极限：

• 导数定义：

记作 ，称为  在  点的导向量。

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二、空间曲线的切线与法平面

假设空间曲线   的参数方程为上述形式，我们要寻找在点   处的几何性质。

1. 切线方程 (Tangent Line)

切线的方向向量即为导向量 。其对称式方程为：

2. 法平面方程 (Normal Plane)

法平面是通过点  且与切线垂直的平面。切线的方向向量即为法平面的法向量：

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三、曲面的切平面与法线

隐函数形式

若曲面方程由隐函数   给出，在点   处：

1. 法向量 (Normal Vector)

曲面在该点的法向量   即为函数的梯度：

2. 切平面方程 (Tangent Plane)

利用点法式方程，切平面方程为：

3. 法线方程 (Normal Line)

利用点向式方程，法线方程为：

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显函数形式  

这种形式可以看作隐函数的特殊情况  。

• 法向量： 
• 切平面： 
• 法线： 

方向余弦 (Direction Cosines)

法向量   的单位化分量即为方向余弦（这里取  轴正方向为例）：