柯西-欧拉方程

标准模型

欧拉方程是指自变量 的幂次与导数阶数相等的变系数线性微分方程，其通用形式如下：

其中 为常数。

核心变换原理

通过变换 （即 ），可将变系数方程转化为常系数方程。

引入微分算子 ，各阶导数项的转换规律如下：

通项转换公式为：

转化后的方程结构

将上述算子公式代入原方程，整理后可得到关于 的 阶常系数线性微分方程：

其中 是关于算子 的 次多项式。

完整解题流程

首先，利用算子公式将原方程中的 全部替换，化简为以 为自变量的常系数线性微分方程。

其次，求解该常系数方程，分别求出齐次通解 和非齐次特解 ，得到 。

最后，将 代回结果中，实现变量还原，得出原方程关于 的通解。

补充说明

若方程定义在 范围内，引入变换 ，最终得到的算子转换公式形式完全一致，只需在还原时使用 。此方法的核心在于通过对数变换，将变系数带来的求导复杂性转化为算子的代数运算。